Saitul Ion Nanu
Index Texte Muzică Radio-TV Mesaje Imagini Sport Contact Forum
Matematică
Ion Nanu

Convergența șirului ( 1 + 1/n )n, utilizînd inegalitatea mediilor

      Considerăm cunoscutul șir
an = ( 1 +
1
n
)n
      După cum se știe, în manualele de analiză matematică se demonstrează că acest șir este convergent și că are limita numărul e.
      În cele ce urmează vom da o demonstrație, diferită de cea clasică din manualele de analiză matematică, demonstrație bazată pe inegalitatea mediilor.
      Să demonstrăm mai întîi monotonia șirului.
      Fie
x1 =
n + 1
n + 2
, x2 =1, ... , xn =1
      Numerele x1, x2, ... , xn sînt strict pozitive, deci, conform inegalității mediilor (media aritmetică este mai mare decît media geometrică) avem:
n + 1
n + 2
+ ( n - 1 )
n

> 		n
√
n + 1
n + 2
      Prin ridicare la puterea n și cîteva calcule în membrul stîng obținem:
[
n² + 2n - 1
n(n + 2)
]n >
n + 1
n + 2
      (1)
      Se arată ușor, prin calcule simple, că:
n(n + 2)
(n + 1)²
>
n² + 2n - 1
n(n + 2)
      (2)
      Din (1) și (2) rezultă că:
[
n(n + 2)
(n + 1)²
]n >
n + 1
n + 2
      (3)
      Inegalitatea (3), după cîteva calcule simple, devine:
(
n + 2
n + 1
)n+1 > (
n + 1
n
)n
      Deci:
an+1 > an
ceea ce ne arată că șirul este strict crescător.
      Întrucît șirul este strict crescător, putem considera, pentru mărginire, că n>6. Fie:
x1 =
5
6
, x2 =
5
6
, x3 =
5
6
, x4 =
5
6
, x5 =
5
6
, x6 =
5
6
, x7 = 1, ... , xn = 1
      Conform inegalității mediilor, obținem:
5 + (n - 6)
n
> n
√ (5/6)6
      Adică:
n - 1
n
> n
√ (5/6)6
      (4)
      Avem:
n
n + 1
>
n - 1
n
      (5)
      Iar:
(5/6)6 > 0,33489 >
1
3
      (6)
      Din (4), (5) și (6) obținem:
n
n + 1
> n √1/3
      Adică:
n + 1
n
< n √3
      Deci:
( 1 +
1
n
) n < 3
      Ultima inegalitate ne arată că șirul este mărginit superior de 3. Marginea inferioară este a1=2.
      Așadar, fiind monoton crescător și mărginit, șirul este convergent, limita sa fiind, după cum se știe, numărul transcendent e.
Top