P1.
Să se arate că ecuaţia
xm( x + 1 )n = 2k + 1 ( m,n naturale şi k īntreg )
nu admite rădăcini īntregi.
Soluţie:
Īntr-o problemă din Gazeta Matematică seria B, nr. 3, 1975 se spune că :
Dacă valoarea P(x0) a unui polinom cu coeficienţi īntregi este un īntreg impar pentru o anumită valoare īntreagă x0 atunci P(x) nu admite rădăcini de aceeaşi paritate cu x0.
Demonstraţia acestui rezultat este simplă. Fie x1, ... , xk rădăcinile reale ale polinomului P(x). Avem:
P(x) = ( x - x1 ) ... ( x - xk ) . Q(x)
Fie x0 un īntreg pentru care P(x0) este număr īntreg impar. Avem:
P(x0) = ( x0 - x1 ) ... ( x0 - xk ) . Q(x0)
Dacă o rădăcină xj ar avea aceeaşi paritate cu x0 rezultă că ( x0 - xj ) este par, deci P(x0) este par ceea ce contrazice ipoteza.
Īn cazul problemei noastre considerăm polinomul:
P(x) = xm ( x + 1 )n - ( 2k + 1 )
Avem P(1) = 2n - ( 2k + 1 ) care este impar şi P(2) = 2m . 3n - ( 2k + 1 ) care este impar, deci, conform rezultatului precedent, P(x) nu admite nici rădăcini pare nici rădăcini impare, adică nu admite rădăcini īntregi.
Problema poate fi rezolvată direct astfel: pentru orice x0 īntreg, avem x0m ( x0 + 1 )n este număr par, deci, P(x0) = x0m ( x0 + 1 )n - ( 2k + 1 ) este număr impar ceea ce īnseamnă că nu poate fi 0.
P2.
Să se arate că ecuaţia
xm ( x + 1 )n = 2k + 1 ( m,n naturale şi k īntreg )
nu admite rădăcini raţionale. (Generalizarea problemei P1).
Soluţie:
Să presupunem xr = p / q este un număr raţional, p, q īntregi prime īntre ele. Avem:
xrm ( xr + 1 ) = ( p/q )m . [ ( p + q ) / q ]n
Dacă xr ar fi rădăcină a ecuaţiei date am avea:
pm ( p + q )n = ( 2k + 1 ) . qm+n (1)
- Dacă p este par atunci q este impar şi , ca urmare,
pm ( p + q )n este par
( 2k + 1 ) . qm+n este impar
deci nu putem avea egalitatea (1).
- Dacă q este par atunci p este impar şi, ca urmare,
pm ( p + q )n este impar
( 2k + 1 ) . qm+n este par
deci nu putem avea egalitatea (1).
- Dacă p şi q sīnt ambii impari atunci
pm ( p + q )n este par
( 2k + 1 ) . qm+n este impar
deci nu putem avea egalitatea (1).
P3.
Să se arate că polinomul
P(x) = 2m x2n+1 + p ( x2n - x2n-1 + ... + x2 - x ) + 2k + 1
( n natural, m, k,p īntregi) nu admite rădăcini īntregi.
Soluţie:
Termenul
2m x2n+1 este par indiferent de valoarea īntreagă a lui x. (1)
Expresia x2n - x2n-1 + ... + x2 - x poate fi scrisă, prin gruparea termenilor doi cīte doi, astfel:
x2n-1( x - 1 ) + ... + x ( x - 1 )
īn care, pentru x īntreg, fiecare termen, de forma x2i-1( x - 1 ), este par. Aşadar termenul
p ( x2n - x2n-1 + ... + x2 - x ) este par indiferent de valoarea īntreagă a lui x. (2)
Din (1) şi (2), ţinīnd seama că 2k + 1 este impar, rezultă că P(x) este impar indiferent de valoarea īnttreagă a lui x ceea ce arată că polinomul nu poate lua valoarea nulă pentru nici o valoare īntreagă a lui x.
Enunţuri
|
