Analiză matematică

Ion Nanu

Matematică
PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
Rezolvări

P1.
Să se arate că şirul definit prin relaţiile:

a₁

a_n+1

( a_n² - a_n + 1 )

a_n

este mărginit şi monoton descrescător. Să se calculeze limita sa.
      ( G.M.B. nr 12/1975)

      Soluţie:
      Arătăm, mai întîi, că şirul este pozitiv şi chiar a_n > 1. Procedăm prin inducţie. Evident, a₁ > 1. Dacă a_n > 1 atunci avem:
( a_n - 1 )² > 0 ⇒ a_n² - 2a_n + 1 > 0 ⇒ a_n² - a_n + 1 > a_n ⇒ (prin împărţire la a_n) ⇒

( a_n² - a_n + 1 )

a_n

> 1

⇒ a_n+1 > 1

şi astfel inducţia este încheiată.
Arătăm că şirul este descrescător. Avem:

1 < a_n ⇒

a_n

< 1 ⇒

a_n

- 1 < 0 ⇒

a_n

+ a_n - 1 < a_n ⇒

( a_n² - a_n + 1 )

a_n

⇒ a_n+1 < a_n

Aşadar şirul este monoton descrescător, deci este un şir convergent. Dacă notăm cu x limita sa, din relaţia de recurenţă obţinem

x =

( x² - x + 1 )

de unde rezultă x = 1. Deci, lim a_n = 1.

P2.
Să se arate că şirul definit prin relaţiile:

a₁

a_n+1

( 1 + a_n - a_n² )

2 - a_n

este mărginit şi monoton crescător. Să se calculeze limita sa.

      Soluţie:
      Arătăm că şirul este subunitar, mai precis, a_n < 1. Procedăm prin inducţie completă. Evident a₁ < 1, urmează:
(a_n - 1)² > 0 ⇒ a_n² - 2a_n + 1 > 0 ⇒ - a_n² + 2a_n - 1 < 0 ⇒ (1 + a_n - a_n² ) - (2 - a_n ) < 0 ⇒ 1 + a_n - a_n² < 2 - a_n ⇒ (împărţind la 2 - a_n care este pozitiv) ⇒ a_n+1 < 1 şi inducţia este încheiată.
      Să arătăm monotonia. Avem succesiv:
a_n < 1 ⇒ 2a_n - a_n² < a_n - a_n² + 1 ⇒ a_n(2 - a_n) < 1 + a_n - a_n² ⇒ (prin împărţire la 2 - a_n) ⇒

a_n <

( 1 + a_n - a_n² )

2 - a_n

= a_n+1.

Aşadar şirul este monoton crescător şi mărginit superior, adică este convergent. Notînd cu x limita sa, din relaţia de recurenţă rezultă

x =

( 1 + x - x² )

2 - x

care ne dă soluţia x = 1. Deci, lim a_n = 1.

      P3.
      Fie h o funcţie continuă, concavă şi strict pozitivă pe intervalul [ a , c ].
      Fie b din intervalul ( a , c ), f o funcţie continuă, convexă şi strict pozitivă pe intervalul [ a , b ] şi g o funcţie continuă, convexă şi strict pozitivă pe intervalul [ b , c ]. Considerăm, în plus, că :
f( a ) = h ( a ) , g ( b ) = f ( b ) şi g ( c ) = h ( c ).
      Să se arate că există trei puncte x₀ din intervalul ( a , c ) , x₁ din intervalul ( a , b ) şi x₂ din intervalul ( b , c ) astfel încît
( c - a ) [ 2 h(x₀) + g(b) ] - ( b - a ) [ 2 f(x₁) + h(c) ] - ( c - b ) [ 2 g(x₂) + f(a) ] > 0

      Soluţie:

Conform enunţului construim figura de mai sus. Fie A(a, f(a)), B(b, g(b)), C(c, h(c)). Deoarece h este concavă iar f şi g sînt convexe rezultă că triunghiul ∆ABC este interior domeniului (A,B,C) mărginit de graficele celor 3 funcţii. Urmează că aria S_∆ABC a triunghiului ∆ABC este strict mai mică decît aria S_(A,B,C) a domeniului (A,B,C). Avem:

S_∆ABC =

\|	a	f(a)	1	\|
\|	b	g(b)	1	\|
\|	c	h(c)	1	\|

= -

(c - a).g(b) +

(c - b).f(a) +

(b - a).h(c)

Aria domeniului (A,B,C) este:

S_(A,B,C) =

c	h(x)dx
∫
a

b	f(x)dx
∫
a

c	g(x)dx
∫
b

(2)

În virtutea teoremei mediei există x₀ ∈ (a, c), x₁ ∈(a, b), x₂ ∈ (b, c) astfel încît:

c	h(x)dx
∫
a

= (c - a).h(x₀)

(3)

b	f(x)dx
∫
a

= (b - a).f(x₁)

(4)

c	g(x)dx
∫
b

= (c - b).g(x₂)

(5)

Din relaţiile (2), (3), (4) şi (5) obţinem:

S_(A,B,C) = (c - a).h(x₀) - (b - a).f(x₁) - (c - b).g(x₂) (6)

      Întrucît S_∆ABC < S_(A,B,C) rezultă
1/2 (c - a).g(b) + 1/2 (c - b).f(a) + 1/2 (b - a).h(c) < (c - a).h(x₀) - (b - a).f(x₁) - (c - b).g(x₂)
relaţie echivalentă cu cea din enunţ.

      P4.
      Fie f : [ a , b ] → R, o funcţie continuă.
      Să se arate că există n puncte distincte ξ₁ , ξ₂ , ξ₃ , ... , ξ_n , din intervalul ( a , b ) aşa încît

n	k.f(ξ_k)
∑
k=1

n.( n + 1 )

2.( b - a )

b	f(x)dx
∫
a

Soluţie:
Fie numerele reale

l_k =

( b - a ).2k

n( n + 1 )

, k = 1, 2, 3, ... , n.

Avem:

∑

k=1

l_k =

∑

k=1

( b - a ).2k

n( n + 1 )

= b - a

Rezultă că există n intervale disjuncte I₁, I₂, I₃, ... , I_n cu:

∪

k=1

I_k = [ a , b ]

şi

L(I_k) = l_k , k=1, 2, 3, ... , n

unde am notat prin L(I_k) lungimea intervalului I_k.
Atunci:

b	f(x)dx
∫
a

∑

k=1

∫

I_k

f(x)dx

şi conform teoremei de medie ∀ k = 1, 2, 3, ... , n ∃ ξ_k ∈ I_k:

∫

I_k

f(x)dx = l_k.f(ξ_k)

Deoarece I_k sînt disjuncte şi ξ_k sînt interioare intervalelor I_k, rezultă că ξ_k sînt distincte.
Avem, deci:

b	f(x)dx
∫
a

∑

k=1

l_k.f(ξ_k)

∑

k=1

2k.( b - a )

n.( n + 1 )

.f(ξ_k) =

2.( b - a )

n.( n + 1 )

∑

k=1

k.f(ξ_k)

n	k.f(ξ_k)
∑
k=1

n.( n + 1 )

2.( b - a )

b	f(x)dx
∫
a

ceea ce trebuia demonstrat.

      P5.
      Fie f : [ a , b ] → R, o funcţie continuă şi m , n numere naturale, m > 1, n ≥ 1.
      Să se arate că există n puncte distincte ξ₁ , ξ₂ , ξ₃ , ... , ξ_n , din intervalul ( a , b ) aşa încît

n	m^k-1.f(ξ_k)
∑
k=1

mⁿ - 1

( b - a ).( m - 1 )

b	f(x)dx
∫
a

Soluţie:
Fie numerele reale pozitive

l_k =

( b - a ).m^k-1( m - 1 )

mⁿ - 1

, k = 1, 2, 3, ... , n.

Avem:

∑

k=1

l_k =

∑

k=1

( b - a ).m^k-1.( m - 1 )

mⁿ - 1

= b - a

Rezultă că există n intervale disjuncte I₁, I₂, I₃, ... , I_n cu:

∪

k=1

I_k = [ a , b ]

şi

L(I_k) = l_k , k=1, 2, 3, ... , n

unde am notat prin L(I_k) lungimea intervalului I_k.
Atunci:

b	f(x)dx
∫
a

∑

k=1

∫

I_k

f(x)dx

şi conform teoremei de medie ∀ k = 1, 2, 3, ... , n ∃ ξ_k ∈ I_k:

∫

I_k

f(x)dx = L(I_k).f(ξ_k)

Deoarece I_k sînt disjuncte şi ξ_k sînt interioare intervalelor I_k, rezultă că ξ_k sînt distincte.
Avem, deci:

b	f(x)dx
∫
a

∑

k=1

l_k.f(ξ_k)

∑

k=1

( b - a ).m^k-1.(m - 1)

mⁿ - 1

.f(ξ_k) =

( b - a ).( m - 1 )

mⁿ - 1

∑

k=1

m^k-1.f(ξ_k)

n	m^k-1.f(ξ_k)
∑
k=1

mⁿ - 1

( b - a ).( m - 1 )

b	f(x)dx
∫
a

ceea ce trebuia demonstrat.

Enunţuri

Top