P1
Să se arate că șirul definit prin relațiile:
este mărginit și monoton descrescător. Să se calculeze limita sa.
( G.M.B. nr 12/1975)
Rezolvare.
P2
Să se arate că șirul definit prin relațiile:
este mărginit și monoton crescător. Să se calculeze limita sa.
Rezolvare.
P3
Fie h o funcție continuă, concavă și strict pozitivă pe intervalul [ a , c ].
Fie b din intervalul ( a , c ), f o funcție continuă, convexă și strict pozitivă pe intervalul [ a , b ] și g o funcție continuă, convexă și strict pozitivă pe intervalul [ b , c ]. Considerăm, în plus, că :
f( a ) = h ( a ) , g ( b ) = f ( b ) și g ( c ) = h ( c ).
Să se arate că există trei puncte x0 din intervalul ( a , c ) , x1 din intervalul ( a , b ) și x2 din intervalul ( b , c ) astfel încît
( c - a ) [ 2 h(x0) + g(b) ] - ( b - a ) [ 2 f(x1) + h(c) ] - ( c - b ) [ 2 g(x2) + f(a) ] > 0
Rezolvare.
P4
Fie f : [ a , b ] → R, o funcţie continuă.
Să se arate că există n puncte distincte ξ1 , ξ2 , ξ3 , ... , ξn , din intervalul ( a , b ) aşa încît
Rezolvare.
P5
Fie f : [ a , b ] → R, o funcţie continuă şi m , n numere naturale, m > 1, n ≥ 1.
Să se arate că există n puncte distincte ξ1 , ξ2 , ξ3 , ... , ξn , din intervalul ( a , b ) aşa încît
|
|
= |
| mn - 1 |
|
| ( b - a ).( m - 1 ) |
|
|
Rezolvare.
|
