Saitul Ion Nanu
Index Texte Muzică Radio-TV Mesaje Imagini Sport Contact Forum
Matematică
PROBLEME DE PROBABILITĂŢI
Rezolvări

      P1
      Se dau trei urne U0, U1, U2 cu următorul conținut. Urna U0 goală, urna U1 conține 3 bile albe și 3 bile negre iar urna U2 conține 2 bile albe și 2 bile negre.
      Se extrage o bilă din urna U1 și dacă este albă se pune în urna U0 iar dacă este neagră se pune în urna U2; se extrage apoi o bilă din urna U2 și dacă este albă se pune în urna U0 iar dacă este neagră se pune în urna U1. Se continuă procedeul, extrăgînd alternativ bile din urnele U1 și U2 și procedînd ca mai înainte.
      Care este probabilitatea ca după exact 5 extrageri, începînd cu urna U1, să obținem 4 bile albe în urna U0 ?

      Soluție. Avem următoarele 4 cazuri favorabile pentru realizarea cerinței din enunț:
IIIIIIIVV
Aa1a2a1n2a1
Ba1a2n1a2a1
Ca1n2a1a2a1
Dn1a2a1a2a1
unde prin ai am notat extragerea unei bile albe din urna Ui iar prin ni am notat extragerea unei bile negre din urna Ui ( i = 1 sau 2 ).
      Probabilitățile celor patru evenimente sunt:
P(A) = 
1
2
  . 
1
2
  . 
2
5
  . 
2
3
  . 
1
5
   =  
1
75
P(B) = 
1
2
  . 
1
2
  . 
3
5
  . 
1
4
  . 
1
2
   =  
3
160
P(C) = 
1
2
  . 
1
2
  . 
1
3
  . 
2
3
  . 
1
5
   =  
1
90
P(D) = 
1
2
  . 
2
5
  . 
3
5
  . 
1
4
  . 
1
2
   =  
3
200
      Deoarece evenimentele A, B, C, D sunt incompatibile rezultă că, probabilitatea cerută este:
P = 
1
75
  + 
3
160
  + 
1
90
  + 
3
200
   =  
96 + 135 + 80 + 108
25.32.52
   =  
419
7200


      P2
      Într-o urnă sînt 3 bile roșii, 2 bile albe și o bilă neagră. Extragem bile una cîte una succesiv, respectînd regula următoare:
      - dacă la o extragere obținem o bilă roșie, nu o înapoiem și procedăm la o nouă extragere;
      - dacă la o extragere obținem o bilă albă, nu o înapoiem dar oprim procesul de extragere;
      - dacă la o extragere obținem bila neagră, o punem la loc în urnă și oprim procesul de extragere.
      Care este probabilitatea ca în urnă să mai rămînă k bile ( k = 2, 3, 4, 5, 6 ).
      ( G.M.B. nr 1/1976)

      Soluție: Să notăm cu R extragerea unei bile roșii, cu A extragerea unei bile albe și cu N extragerea bilei negre.
      a) Probabilitatea ca în urnă să rămînă 2 bile.
      În acest caz, afară vor fi 4 bile și pentru realizarea acestui eveniment e necesară următoarea succesiune: R R R A. Deci,
P(2) =  
3
6
 . 
2
5
 . 
1
4
 . 
2
3
 = 
1
30
      b) Probabilitatea ca în urnă să rămînă 3 bile.
      În acest caz, avem două succesiuni: R R A sau R R R N. Deci,
P(RRA) =  
3
6
 . 
2
5
 . 
2
4
 = 
1
10
P(RRRN) =  
3
6
 . 
2
5
 . 
1
4
 . 
1
3
 = 
1
60
      Așadar:
P(3) =  
1
10
 + 
1
60
 = 
7
60
      c) Probabilitatea ca în urnă să rămînă 4 bile.
      În acest caz, avem două succesiuni necesare: R A sau R R N. Deci,
P(RA) =  
3
6
 . 
2
5
 = 
1
5
P(RRN) =  
3
6
 . 
2
5
 . 
1
4
 = 
1
20
      Așadar:
P(4) =  
1
5
 + 
1
20
 = 
1
4
      d) Probabilitatea ca în urnă să rămînă 5 bile.
      În acest caz, avem două succesiuni necesare: "R N" sau "A". Deci,
P(RN) =  
3
6
 . 
1
5
 = 
1
10
P(A) =  
2
6
 = 
1
3
      Așadar:
P(5) =  
1
10
 + 
1
3
 = 
13
30
      d) Probabilitatea ca în urnă să rămînă 6 bile.
      În acest caz este necesar să extragem, de prima oară, bila neagră. Deci,
P(6) =  
1
6
      Observație: Să constatăm că evenimentele considerate reprezintă o partiție a spațiului, deci este firesc să avem:
P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) =  
1
30
 + 
7
60
 + 
1
4
 + 
13
30
 + 
1
6
 = 1


      P3
      Se iau la întîmplare două unghiuri u și v. Considerăm că un unghi poate lua numai valori de la 00 la 1800. Care este probabilitatea ca ele să fie unghiuri ale unui triunghi ascuțitunghic ?

      Soluție. Pentru ca u și v să fie unghiuri ale unui triunghi oarecare este necesar ca u + v < 1800; dacă cerem, în plus, ca triunghiul să fie ascuțitunghic este necesar ca, în plus, u < 900 , v < 900 și u + v > 900.
      Obținem, astfel, un sistem de inecuații:
0 ≤ u ≤ 1800
0 ≤ v ≤ 1800
u + v < 1800
u < 900
v < 900
u + v > 900
      Să alegem un sistem de axe ortogonale uOv.
      Primele două inecuații ne dau ca soluție domeniul format de pătratul OAMB, unde A(1800,00), B(00,1800), M(1800,1800). Acest domeniu reprezintă toate cazurile posibile în alegerea aleatorie a unghiurilor u și v.
      Inecuația 3-a împreună cu precedentele ne dau triunghiul OAB care reprezintă toate cazurile favorabile ca u și v să fie unghiuri ale unui triunghi oarecare.
      În fine, întregul sistem are soluția triunghiul hașurat A1M1B1, unde A1(900,00), M1(900,900), B1(00,900).
      Notăm prin SOAMB, SOAB, SA1M1B1 ariile suprafețelor OAMB, OAB și A1M1B1.
      Ținînd seama de cele de mai sus, este natural să considerăm probabilitatea ca u și v să fie unghiuri ale unui triunghi oarecare, egală cu:
P =
SOAB
SOAMB
=
1
2
iar probabilitatea ca u și v să fie unghiuri ale unui triunghi ascuțitunghic este:
P1 =
SA1M1B1
SOAMB
=
1
8
      Urmînd același procedeu, se deduce ușor că probabilitatea ca u și v să fie unghiuri ale unui triunghi obtuzunghic este 3/8.

      P4
      Doi țintași trag asupra aceleiași ținte cîte un foc. Ținta se află așezată între țintași, coliniar cu pozițiile acestora. Distanța dintre țintași este de 7 unități de lungime, iar bătaia armelor este de peste 7 unități. (Excludem posibilitatea ca țintașii să se lovească unul pe altul). Țintașii lovesc ținta cu probabilitățile:
P1(x) =
1
x + 1
P2(y) =
2
y + 2
unde x și y sînt distanțele de la țintași la țintă.
      Să se afle poziția țintei astfel ca probabilitatea ca aceasta să fie lovită să fie minimă. Cît este această probabilitate ?
      (G.M.B. nr. 12, 1975)

      Soluție:
      Fie, pe axă, A(0) și B(7) pozițiiile celor doi țintași și M(x) poziția țintei, 0 ≤ x ≤ 7.
      Probabilitatea ca ținta să fie lovită va fi:
P = P1 + P2 - P1.P2
unde P1, P2 sînt cele din enunț. Deci:
P(x) =
1
x + 1
+
2
( 7 - x ) + 2
-
1
x + 1
.
2
( 7 - x ) + 2
      Derivînd funcția P(x), obținem:
P'(x) =
x2 + 18x - 63
( x + 1 )2 . ( 9 - x )2
      P'(x) = 0 pentru x1 = 3 și x2 = -21. Soluția care ne interesează este cea din interiorul intervalului [0,7], deci x = 3.
      Se constată ușor că:
P'(x) < 0 , x ∈ [0,3) și P'(x) > 0 , x ∈ (3,7]
ceea ce arată că x=3 este un punct de minim pentru funcția P(x).
      Deci avem probabilitatea minimă ca ținta să fie lovită cînd ținta se află la distanța de 3 unități de primul țintaș și, implicit, la 4 unități de al doilea țintaș.
      Această probabilitate este: P(3) =
1
2


      P5
      Un automobilist pleacă din orașul A pe o șosea. La 40 de km distanță de orașul A, șoseaua se intersectează cu o cale ferată. La ora 1:00 prin această intersecție va trece un tren. Automobilistul pleacă din orașul A între orele 0 și 0:30, momentul plecării fiind aleatoriu, și parcurge distanța pînă la intersecție cu o viteză medie aleatorie cuprinsă între 0 și 90 km/h.
      Care este probabilitatea ca automobilistul să treacă prin intersecție înainte de trecerea trenului ?

      Soluție: Să notăm cu t momentul plecării și cu v viteza medie cu care sînt parcurși cei 40 km pînă la intersecție.
      Să reprezentăm, într-un sistem de axe ortogonal, pe abscisă timpul iar pe ordonată viteza.
      Dreptunghiul OAMB este dreptunghiul cazurilor posibile.
      Distanța parcursă de automobilist pînă la ora 1 va fi D = v.(1 - t) unde t este momentul plecării. Trebuie ca D ≥ 40. Obținem astfel inecuația:
v.(1 - t) ≥ 40(1)
      Să reprezentăm curba:
v(t) =
40
1 - t
      Avem:
v(0)=40 v(
1
2
)=80 v'(t)=
40
(1 - t)2
v''(t)=
80
(1 - t)3
ceea ce arată că această curbă trece prin punctele B1(0,40), A1(0.5,80), este strict crescătoare pe intervalul [0,0.5] și este convexă pe acest interval. Graficul este desenat în figură.
      Inecuația (1) împreună cu condițiile 0 ≤ t ≤ 0.5, 0 ≤ v ≤ 90 ne dă ca soluție domeniul B1A1MB.
      E natural să considerăm probabilitatea cerută ca fiind raportul:
SB1A1MB
SOAMB
dintre ariile domeniului B1A1MB și respectiv aria dreptunghiului OAMB.
      Avem:
SOAA1B1 =
∫
1
2
0
40
1 - t
dt
= -40.ln(1 - t)
|
1
2
0
= 40.ln 2
SB1A1MB = SOAMB - SOAA1B1 = 45 - 40.ln 2
      Probabilitatea cerută va fi:
P =
45 - 40.ln 2
45
= 1 -
8
9
ln 2


Top